コンテスト中AC:A,B
Cはコンテスト後自力AC

A - Bridge and Sheets

便宜上、 $\ a_{N+1} = L$ を追加しておきます。
最初からかけられているシートのうち、最も右端を $s$ とします。最初 $s=0$ としておきます。
$a_i$ にかけられたシートを考えるとき、前のシートの右端 $s$ から $a_i$ までがシートがかけられていない区間です。

これより、シートが $b_i = max(0,a_i-s)$ の長さ分必要になるので、 $\lceil \frac{b_i}{W} \rceil$ がこの区間で必要なシートの枚数です。なお、シートが重なっていた場合に長さが負になってしまうので、0とmaxをとっています。

$a_i$ のシートの右端は、 $a_i + W$ なので、 $S \leftarrow a_i + W$ と更新します。
この操作をi = 1からN+1まで繰り返し、シートの枚数を足し合わせていけば、それが答えです。
提出コード

B - Reserve or Reverse

交換の優先度はインデックスが小さい方が高いので、交換するかどうかをi = 1から順に考えます。 $s_i$ と交換する対象 $s_j$ は以下の条件を満たすようなものを貪欲に決定できます。

辞書順で $s_i$ より小さい
辞書順で最も小さい
$i' \lt j'$ である $s_{i'},s_{j'}$ を既に交換していた場合、 $i' \lt i \lt j \lt j'$ である
最も後ろに出現する

1は自明だと思います。
2ですが、1を満たす中では、辞書順でできるだけ小さい文字を持ってきた方が全体の辞書順を小さくできます。
3ですが、これまで交換対象としたものより、内側である必要があります。(2と8既にを交換していたら、3〜7の中から選ぶ必要がある)
4ですが、3の条件からわかるように次以降に選ぶ交換対象は今選んだものの内側になってしまいます。そこで、1,2の条件を同時に満たす文字が複数個あった場合、次以降の候補をできるだけ増やす為に、できるだけ出現位置が後ろのものを選ぶのが良いです。

条件を満たすものを得る方法ですが、Segment Treeが使えます。
例えば、AtCoder Libraryのsegtreeであれば、 $(s_i,i)$ の組を記録し、二項演算op、単位元eを以下のように定めておきます。

$op( (s_i,\ i),\ (s_j,\ j) )$ ： $s_i \neq s_j$ なら、小さい方を返す。そうでなければ、 $i,j$ の大きい方を返す。

単位元は $e = (inf,\ -1)$ などとしておけば良いです。

提出コード
こちらの実装では、交換対象を左端と右端から考えていくイメージで、 $tail$ を右側で交換した中で最も小さいものとして記録しています。

C - The Majority

条件を満たす箱の入れ方の一つを例にしてみます。
箱1：1 1 1 1 2 2 2
箱2：1 1 1 3 3
箱3：1 1 4
箱4：1

ここから、

1以外の数字があれば、必ずそれに対応する1が存在する
各箱につきペアとなった1を除いた1が少なくとも1つ存在する

ことが言えます。
1の個数を $sum_1$ とし、1以外の個数を $sum_{\gt 1$ と名づけます。

1つ目の考察から、 $sum_1 \geq sum_{\gt 1}$ が成り立つ必要があるので、これが成り立たない時、0通りです。成り立つ場合、ペアを作るので、その分の1の個数を減らして、
$sum_1 \leftarrow sum_1 - sum_{\gt 1}$
としておきます。

2つ目の考察から、ペア以外の1を各箱に少なくとも1つ入れないといけないので、予め各箱に1つずつ分配しておきます。従って、 $sum_1 \geq K$ である必要があります。これが成り立たないとき、0通りです。
成り立つ場合、1の個数を減らして、
$sum_1 \leftarrow sum_1 - K$
とします。