コンテスト中AC:A〜D
A〜Dで特に書くことがないので、コンテスト後に解いたE問題について書いておきます(解説AC)。

コンテスト中に考えていた誤りの解法

コンテスト中は、全体の移動方法から、壁に経由する移動方法を引こうと思いました。
まず、全体の移動方法は $3^N$ です。

次に、壁を経由する移動方法を考えます。ワープの方法を上から移動1,2,3と呼ぶことにします。

原点から移動1を $p$ 回、移動2を $q$ 回、移動3を $r$ 回行った後に到達する座標を $(s,t)$ とすると、

$s = pA+qC+rE$
$t = pB+qD+rF$

という風に計算でき、一意に決定されます。

この座標が壁であるとした時に、 $(0,0)$ から前述の移動回数で $(s,t)$ を通るような移動方法が何通りあるか数え上げてみます。

まず、 $(0,0)$ から $(s,t)$ に移動する方法の総数ですが、それぞれ $p$ 個、 $q$ 個、 $r$ 個ある3種類のボールを1列に並べる方法の総数に等しいので、

$\frac{(p+q+r)!}{p!q!r!}$

通りです。
$(s,t)$ に到着後の残りは、どのような移動方法をとってもよいので、 $3^{N-p-q-r}$ 通りです。

従って、求めたい移動方法の総数は、

$\frac{(p+q+r)!}{p!q!r!}\times 3^{N-p-q-r}$

です。
あとは、 $p,q,r$ を全探索して、上記を計算し、全体から引いていけば良い、と思いましたが、これは誤りです。

なぜなら、 $(s,t)$ の他にも壁を通過している可能性があるため、重複して数え上げている可能性があるからです。

正しい解法

公式解説を参考に、座標ではなく各移動方法の移動回数を情報として持った、メモ化再帰で解きました。

$f(p,q,r)$ ：移動1を $p$ 回、移動2を $q$ 回、移動3を $r$ 回行った場合の移動方法の総数

とおきます。

$f(p,q,r) = f(p-1,q,r)+f(p,q-1,r)+f(p,q,r-1)$

という式で $f(p,q,r)$ を計算できるので、 $f(N,N,N)$ から開始してメモ化再帰することで、 $O(N^3)$ で全て計算できます。

$p+q+r=N$ となるような $f(p,q,r)$ を全て足せばそれが答えとなります。

操作回数が同じなら辿り着く座標が同じであることから状態が $O(N^3)$ と少ないことがポイントでした。